如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，且BA•BC＝0，异面直线A1B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点．（1）证明：A1E⊥GF；（2）求二面角B1-A1C-C1的大小；（3）求点E

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，且

BA

•

BC

＝0，异面直线A₁B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB₁的中点，点F是棱B₁C₁上的动点．
（1）证明：A₁E⊥GF；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小；
（3）求点E到面AB₁C的距离．

Answer 1

（1）证明：以B为原点，BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱柱的高为h，
则A（2，0，0），C（0，2，0），G（1，1，0），A₁（2，0，h）

所以

BA1

＝(2，0，h)，

CA

＝(2，−2，0)，
所以cos＜

BA1

，

CA

＞＝(4)/(2√(2)•√(4+h2))＝(1)/(2)，
解得h=2，
所以E（0，0，1），A₁（2，0，2），
所以

A1E

＝(−2，0，−1)．
因为F是B₁C₁上的动点，设F（0，y，2），
所以<

作业帮用户 2016-12-10

问题解析

（1）建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出棱锥的高，根据异面直线A₁B与AC成60°的角，写出两条异面直线的夹角，求出高，再利用向量的数量积求出异面直线所成的角为90°，
进而证明线线垂直．
（2）根据建立的坐标系，看出平面的一个法向量，设出另一个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出一个法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
（3）先求出平面的法向量，再求出平面的任意一个斜线所在的向量在法向量上的射影即可．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议