已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=2，则三棱锥A-BCD的体积为1313．

Question

已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=√(2)，则三棱锥A-BCD的体积为

(1)/(3)

(1)/(3)

．

Answer 1

∵AB是球的直径，D、C两点在球面上
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD=√(2)
∴AC=AD=√(2)=CD
取CD中点E，连接AE、BE
∵等边△ACD中，AE⊥CD，等边△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE=(√(3))/(2)×√(2)=(√(6))/(2)，AB=2
∴△ABE中的面积S=(√(2))/(2)
由此可得三棱锥A-BCD的体积V=V_C-ABE+V_D-ABE=(1)/(3)S_△ABE•CE+(1)/(3)S_△ABE•DE=(1)/(3)S_△ABE•CD=(1)/(3)×

作业帮用户 2017-11-09

问题解析

取CD中点E，连接AE、BE，可证出△ACD、△BCD都是等边三角形，并且CD⊥平面ABE，由此将三棱锥A-BCD的体积分为三棱锥C-ABE与三棱锥D-ABE的体积之和，结合题中数据算出△ABE中的面积，用锥体体积公式即可求出三棱锥A-BCD的体积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．

考点点评：

本题给出特殊的球内接三棱锥，求它的体积，着重考查了球内接多面体、线面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于基础题．

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