已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为．

Question

已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2 √(2)，则该球的表面积为___．

Answer 1

如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA²=PF•PE，
因为AE=2，
所以侧棱长PA=√(42+22)=2√(5)，PF=2R，
所以20=2R×4，所以R=(5)/(2)，
所以S=4πR²=25π
故答案为：25π．