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请问怎么解y''+y等于e的x次方+cosx这个微分方程
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请问怎么解y''+y等于e的x次方+cosx这个微分方程
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答案和解析
y"+y=e^x+cosx
特征方程为：x^2+1=0,根为：i,-i
因此y1=c1cosx+c2sinx
设特解y2=ce^x+mxcosx+nxsinx
y2'=ce^x+mcosx-mxsinx+nsinx+nxcosx
y2"=ce^x-msinx-msinx-mxcosx+ncosx+ncosx-nxsinx=ce^x-2msinx-mxcosx+2ncosx-nxsinx
y2"+y=2ce^x-2msinx+2ncosx=e^x+cosx
对比得：2c=1,2m=0,2n=1,
即：c=1/2,m=0,n=1/2
y2=1/2*e^x+1/2*xsinx
因此通解为y=y1+y2=c1cosx+c2sinx+1/2*e^x+1/2*xsinx
特征方程为：x^2+1=0,根为：i,-i
因此y1=c1cosx+c2sinx
设特解y2=ce^x+mxcosx+nxsinx
y2'=ce^x+mcosx-mxsinx+nsinx+nxcosx
y2"=ce^x-msinx-msinx-mxcosx+ncosx+ncosx-nxsinx=ce^x-2msinx-mxcosx+2ncosx-nxsinx
y2"+y=2ce^x-2msinx+2ncosx=e^x+cosx
对比得：2c=1,2m=0,2n=1,
即：c=1/2,m=0,n=1/2
y2=1/2*e^x+1/2*xsinx
因此通解为y=y1+y2=c1cosx+c2sinx+1/2*e^x+1/2*xsinx
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