定积分求证~函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0令F(x)=∫(0到x)f(t)dt+∫(0到x)1/f(t)dt（注意是变上下限函数）,证明方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根……求证仅有一个根怎么证明不要说用单调性单

Question

定积分求证~
函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0 令F(x)=∫(0到x)f(t)dt+∫(0到x)1/f(t)dt （注意是变上下限函数） ,证明方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根……求证仅有一个根怎么证明 不要说用单调性 单调性没法证~可以用反证法╮(╯_╰)╭求解 ……怕麻烦可以简单说明下用那些知识点……就这样.

Answer 1

这题貌似有漏洞,如果0所以,题目应该还有个条件,a<0因为f(x)>0,所以1/f(x)>0
根据积分保序性可得
F(a)=∫(0~a)f(t)dt+∫(0~a)1/f(t)dt<0
F(b)=∫(0~b)f(t)dt+∫(0~b)1/f(t)dt>0
所以F(a)F(b)<0
根据零点存在定理可知,至少存在一点ξ∈(a,b),使得
F(ξ)=0
又因为F'(x)=f(x)+1/f(x)>0
所以F(x)在[a,b]内单调递增
所以F(x)=0在(a,b)内有且只有一个实根.
【如果想利用反证法,可以利用罗尔定理】
下面的步骤可紧跟上面零点存在定理结论后面
假定F(x)=0在(a,b)有n个实根,（n≥2,且n∈N）,设x1,x2,x3...xn为F(x)=0的n个实根,对区间(x1,x2)使用罗尔定理,
至少存在一点t∈(x1,x2),使得
F'(t)=0
又因为F'(x)=f(x)+1/f(x),这与罗尔定理结论矛盾,即x1,x2是F(x)=0的两实根的假设不成立
对每两个实根之间形成的区间分别使用罗尔定理,同理可得xm,xk是F(x)=0的两实根的假设不成立(m∈[1,k),k∈(m,n],m,k∈Z)
综上可得,F(x)=0在(a,b)内至多只有一实根.
所以,F(x)=0在(a,b)内有且仅有一实根.