已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角．

Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角．

Answer 1

（1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形．连接AN并延长交BC于点E，连接PE．
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND．
又∵BN：ND=PM：MA，
∴EN：AN=PM：MA．
∴MN∥PE．
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC．

（2）由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．
设点P在底面ABCD上的射影为O，连接OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．
由正棱锥的性质知PO=√(PB2−OB2)=(13√(2))/(2)．
由（1）知，BE：AD=BN：ND=5：8，
∴BE=(65)/(8)．
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=(65)/(8)，
根据余弦定理，得PE=(91)/(8)．
在Rt△POE中，PO=(13√(2))/(2)，PE=(91)/(8)，
∴sin∠PEO=(PO)/(PE)=(4√(2))/(7)．
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin(4√(2))/(7)．