如图，正方体AC1（1）在BD上确定一点E，使D1E∥面A1C1B；（2）求直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值；（3）求面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．

Question

如图，正方体AC ₁
（1）在BD上确定一点E，使D ₁ E ∥ 面A ₁ C ₁ B；
（2）求直线BB ₁ 和面A ₁ C ₁ B所成角的正弦值；
（3）求面A ₁ C ₁ B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

（1）连接AC，B ₁ D ₁ ，AC∩BD=O，A ₁ C ₁ ∩B ₁ D ₁ =O ₁ ，连接D ₁ O，O ₁ B，则
∵D ₁ O ₁ =BO，D ₁ O ₁ ∥ BO，∴四边形D ₁ OBO ₁ 是平行四边形，
∴D ₁ O ∥ O ₁ B
∵D ₁ O⊄平面A ₁ C ₁ B，O ₁ B⊂平面A ₁ C ₁ B，
∴D ₁ O ∥ 面A ₁ C ₁ B；
∴BD上存在中点E，使D ₁ E ∥ 面A ₁ C ₁ B；
（2）连接B ₁ D，则B ₁ D⊥面A ₁ C ₁ B，设垂足为G，则∠GBB ₁ 为直线BB ₁ 和面A ₁ C ₁ B所成角
∵B ₁ G= (1)/(3) B ₁ D= (3)/(3) BB ₁ ，
∴直线BB ₁ 和面A ₁ C ₁ B所成角的正弦值为 (3)/(3) ；
（3）∵△A ₁ C ₁ B在底面ABCD中的射影为△ACB
∴面A ₁ C ₁ B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为 (S△ACB)/(SABCD) = (1)/(2)
∴面A ₁ C ₁ B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值 (3)/(2) ．