如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点．（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小．（2）求二面角B1-MA-C的正切值．

Question

如图，正方体AC₁中，已知O为AC与BD的交点，M为DD₁的中点．

（1）求异面直线B₁O与AM所成角的大小．
（2）求二面角B₁-MA-C的正切值．

Answer 1

（1）∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．设棱长为2
连接MO、MB₁，则MO=√(3)，B₁O=√(6)，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．
∴B₁O⊥AM，
∴异面直线B₁O与AM所成角为90°；
（2）作ON⊥AM于点N，连接B₁N．
∵B₁O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B₁ON．
∴B₁N⊥AM．
∴∠B₁NO就是二面角B₁-MA-C的平面角．
∵AM=√(5)，CM=√(5)，∴AM=CM．
又O为AC的中点，∴OM⊥AC．则ON=OAsin∠MAO=(√(6))/(√(5))．
在Rt△B₁ON中，tan∠B₁NO=(B1O)/(ON)=√(5)，
∴∠B₁NO=arctan√(5)，即所求二面角的大小为arctan√(5)．