已知a>0,f(x)=x+alnx,若对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|求a范围

Question

已知a>0,f(x)=x+alnx,若对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|
f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|
求a范围

Answer 1

已知a>0,f(x)=x+alnx,
对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|,
∴|x1-x2+a(lnx1-lnx2)|>|(x1-x2)/(x1x2)|,
两边都除以|x1-x2|,得
|1+a(lnx1-lnx2)/(x1-x2)|>1/|x1x2|,（1）
(lnx)'=1/x∈（1,2）,
∴（lnx1-lnx2)/(x1-x2)∈（1,2）,
x1,x2→1/2时（1）变为|1+2a|>4,
2a+1>4,或2a+13/2或a1,
a+1>1或a+10或a3/2或a