高等数学问题设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：至少存在一点ξ∈(-1,1),使得f"(ξ)=f(-1)+f(1)-2f(0)

Question

高等数学问题设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：
设f(x)在[-1,1]上连续且在(-1,1)内有连续二阶导数.证明：至少存在一点ξ∈(-1,1),使得f"(ξ)=f(-1)+f(1)-2f(0)

Answer 1

用两次中值定理,f(x)在[-1,0]上连续且在(-1,0)内有连续二阶导数,存在m∈(-1,0),使
f'(m)=f(0)-f(-1),
同理在(0,1)内存在n∈(0,1),使
f'(n)=f(1)-f(0),
在（m,n）内,f'(x),连续可导,所以存在一点ξ∈(m,n),使得
f"(ξ)=f'(n)-f'(m)=f(-1)+f(1)-2f(0)
所以证得至少存在一点ξ∈(-1,1),使得f"(ξ)=f(-1)+f(1)-2f(0)