设f（x）为（-∞，+∞）上的可导函数，且在x=0的某个邻域内成立f（ex）-2f（e-x）=9x+α（x），其中α（x）是当x→0时比x高阶的无穷小量．求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．

Question

设f（x）为（-∞，+∞）上的可导函数，且在x=0的某个邻域内成立f（e^x）-2f（e^-x）=9x+α（x）
，其中α（x）是当x→0时比x高阶的无穷小量．求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

令F（x）=f（e^x）-2f（e^-x），则F（x）=9x+α（x）
∴F′(0)=

lim

x→0

(F(x)-F(0))/(x)=

lim

x→0

(9x+α(x))/(x)=9
而由F（x）=f（e^x）-2f（e^-x），得F（0）=-f（1）=0，即f（1）=0，且
F′（x）=e^xf′（e^x）+2e^-xf′（e^-x）
∴F′（0）=f′（1）+2f′（1）=3f′（1）
∴f′（1）=3
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3（x-1）