有关高数的问题请问：f（x）在Xo的某一去心邻域处有界是limf（x）当x→Xo时极限存在的什么条件,为什么,最好能举个例子简单的说明一下,函数在Xo的某一去心邻域有界,这个某个去心邻域是什

Question

有关高数的问题
请问：f（x）在Xo的某一去心邻域处有界是limf（x）当x→Xo时极限存在的什么条件,为什么,最好能举个例子简单的说明一下,
函数在Xo的某一去心邻域有界,这个某个去心邻域是什么意思,是不是说Xo所有去心邻域中至少有一个区间满足函数在此区间内有界?

Answer 1

去心邻域,就是这一点的周围区域,却不包括这一点.
邻域有个半径的概念.
不论半径有多大,邻域始终是以该点为中心的对称区域.
比如,原点的邻域就 是（-a,a）
这个a可大可小.
可以是（-∞,∞）
但是,邻域的概念在微分,导数这里用得比较多,一般半径都比较小,是一个无穷小值,用以表示非常接近 某个点的临近 的环境.
所以,你一般理解为和这个点挨着的周围的点.
再回到这道题.邻域可以指一个非常大的区域,比如（-∞,∞）,
但是不论这个区域再大,都必须包含周围的点.
换一种说法,假设最小的邻域是（-a,a）
那么,其他任何的邻域,都是要包含(-a,a).
就好像人的胳膊上任何地方都是人躯干的邻域,但是,最小的邻域是人的肩膀到躯干.那么,如果要扩大这个邻域,就必须先经过人的肩膀.
邻域始终是从这一点出发,向两边扩散.
因而,如果某个邻域上的点不满足条件,而另一个邻域内的点满足条件,那么这个满足条件的邻域一定是半径较小的邻域.
因此本题目的某一邻域内有界,一定是一个比较小的邻域.
这是一个必要不充分条件.
例如,sin(1/x) 在0处,始终有界,但是当x→0时,极限不存在；
而,如果函数在某点的极限存在,那么一定是左极限等于右极限.左右极限就分别存在于该点的左右邻域内.极限存在,那么根据极限的定义,在此邻域内一定是有界的.