曲面积分设L为由y^2=x+3及x=2围成的区域边界,去逆时针方向,则∮L（xdy-ydx）/(x^2+y^2)

Question

曲面积分设L为由y^2=x+3及x=2围成的区域边界,去逆时针方向,则∮L（xdy-ydx）/(x^2+y^2)

Answer 1

设P= -y/(x^2+y^2),Q=x/(x^2+y^2)
因为满足Q'x=P'y,且积分曲线L包围原点,
所以,根据格林公式,可以推导出,原积分=任何围绕原点闭曲线M上的积分
我们选M是圆x^2+y^2=1的逆方向
写出参数方程x=cost,y=sint
原方程= ∮L（xdy-ydx）/(x^2+y^2)
=∮M（xdy-ydx）/(x^2+y^2)
=∮M (costdsint-sintdcost)
=∫(0->2π) (cost)^2dt -sint(-sint)dt
=2π