已知f″（x）在闭区间[-1，1]上连续且恒正，f+′（-1）=-3，f-′（1）=1，曲线y=f（x）在对应于区间[-1，1]上的弧长为7π8，则曲线y=f（x）在对应于区间[-1，1]上的一段弧上的平均曲率为.K=2323．

Question

已知f″（x）在闭区间[-1，1]上连续且恒正，f₊′（-1）=-√(3)，f_-′（1）=1，曲线y=f（x）在对应于区间[-1，1]上的弧长为(7π)/(8)，则曲线y=f（x）在对应于区间[-1，1]上的一段弧上的平均曲率为

.

K

=

(2)/(3)

(2)/(3)

．

Answer 1

记曲线y=f（x）对应于区间[-1，x]的弧长为s，记曲线在点P（x，f（x））处的切线的倾角为α（s），
则当s=0，即x=-1时，α（0）=arctan1=(π)/(4)，
当s=L=(7π)/(8)，即x=1时，α（0）=arctan（-√(3)）=-(π)/(3)．
因为f″（x）＞0，所以K（s）=α′（s）．
从而，

.

K

=(1)/(L)

∫

L 0

K(s)ds 
=(1)/(L)

∫

L 0

α′(s)ds
=(1)/(L)(α(L)−α(0))
=(1)/((7π)/(8))((π)/(4)−(−(π)/(3)))
=(2)/(3)．
故答案为：(2)/(3)．