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初等数论,设n是正整数,证明(n!+1,(n+1)!+1)=1
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初等数论,设n是正整数,证明(n!+1,(n+1)!+1)=1
▼优质解答
答案和解析
这个好证：
设d=(n!+1,(n+1)!+1).
则d|(n!+1),d|((n+1)!+1)
所以d|[(n!+1)*(n+1)-((n+1)!+1)]
即d|n.
所以如果d>1
那么d必定是n的某个因子.
但[n,(n!+1)]=1.
因此n与(n!+1)无大于1的素因子.这里得出d=1.矛盾.
所以d=1.
故(n!+1,(n+1)!+1)=1.
设d=(n!+1,(n+1)!+1).
则d|(n!+1),d|((n+1)!+1)
所以d|[(n!+1)*(n+1)-((n+1)!+1)]
即d|n.
所以如果d>1
那么d必定是n的某个因子.
但[n,(n!+1)]=1.
因此n与(n!+1)无大于1的素因子.这里得出d=1.矛盾.
所以d=1.
故(n!+1,(n+1)!+1)=1.
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