如图所示，在平面直角坐标系的第一象限，直线OP与x轴正向的夹角θ=π4，OP与y轴之间存在垂直于坐标平面向外的，磁感应强度大小为B的匀强磁场，OP与x轴之间有方向沿x轴负方向的匀强电场

Question

如图所示，在平面直角坐标系的第一象限，直线OP与x轴正向的夹角θ=(π)/(4)，OP与y轴之间存在垂直于坐标平面向外的，磁感应强度大小为B的匀强磁场，OP与x轴之间有方向沿x轴负方向的匀强电场，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子（重力不计），从原点O沿y轴正方向以速度v₀射入磁场，从x轴上某处沿与x轴负向成(π)/(4)角的方向离开第一象限，求：
（1）粒子的运动轨迹与OP的交点坐标；
（2）电场强度的大小；
（3）粒子在第一象限内运动的时间；
（4）若在第四象限中加一垂直坐标平面，磁感应强度为2B的正三角形磁场，使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为(π)/(4)进入第二象限，试计算所加磁场的最小边长．

Answer 1

（1）根据左手定则可得．粒子在磁场中向右偏转，由圆周运动的对称性可得，粒子将沿水平方向进入电场，然后减速到0，再加速运动，从进入点再次进入磁场区域，经过一段时间后第二次进入电场区域，画出运动的轨迹如图：

由几何关系知，从O到A为(1)/(4)圆周，从A到C速度匀减速到0，再反向加速到A，从A经(3)/(4)圆周到D，后垂直电场方向进入电场，做类平抛运动，由几何关系知粒子运动与OP的交点坐标为：A（R，R）；D（2R，2R）
由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝(mv20)/(R)
得：R＝(mv0)/(qB)
所以：交点坐标为：A（(mv0)/(qB)，(mv0)/(qB)）；D（(2mv0)/(qB)，(2mv0)/(qB)）
（2）粒子第二次进入电场后做平抛运动，竖直方向：2R=v₀t₃
得：t3＝((2mv0)/(qB))/(v0)＝(2m)/(qB)
从x轴上某处沿与x轴负向成(π)/(4)角的方向离开第一象限，得：tan45°＝(v0)/(vy)
得：v_y=v₀
又：vy＝at3＝(qE)/(m)•t3
解得：E＝(1)/(2)Bv0
（3）由图可得，粒子在磁场中运动的时间刚刚是一个周期，所以粒子在磁场中运动的时间：t1＝T＝(2πR)/(v0)＝(2πm)/(qB)
粒子在电场中做直线往返运动的时间：t2＝(2v0)/(a)＝(2mv0)/(qE)＝(4m)/(qB)
粒子在第一象限运动的总时间：t＝t1+t2+t3＝(2πm)/(qB)+(4m)/(qB)+(2m)/(qB)=(π+3)(2m)/(qB)
（4）粒子在电场中偏转时，沿x方向的位移：x＝(1)/(2)a

t

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＝(mv0)/(qB)
所以粒子离开电场进入第四象限时的坐标：（(mv0)/(qB)，0）
粒子进入第四象限时的速度大小：v＝√(v20+v2y)＝√(2)v0
又：B′=2B
则粒子的运动半径：R′＝(mv)/(q•2B)＝(√(2))/(2)R，所以粒子从O点飞离时，则三角形的边长正好是圆的弦长R，故：L＝R＝(mv0)/(qB)
答：（1）粒子的运动轨迹与OP的交点坐标为：A（(mv0)/(qB)，(mv0)/(qB)）；D（(2mv0)/(qB)，(2mv0)/(qB)）；
（2）电场强度的大小E＝(1)/(2)Bv0；
（3）粒子在第一象限内运动的时间是(π+3)(2m)/(qB)；
（4）使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为(π)/(4)进入第二象限，所加磁场的最小边长是(mv0)/(qB)．