将曲线C1：(x−4)2+y2＝4所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12得到曲线C2，将曲线C2向左（x轴负方向）平移4个单位，得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的方程；（Ⅱ）垂直于x轴的直线l与曲线C3

Question

将曲线C1：(x−4)2+y2＝4所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的(1)/(2)得到曲线C₂，将曲线C₂向左（x轴负方向）平移4个单位，得到曲线C₃．
（Ⅰ）求曲线C₃的方程；
（Ⅱ）垂直于x轴的直线l与曲线C₃相交于C、D两点（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直线AC、BD相交于点P，求P点的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ） 将C1：(x−4)2+y2＝1所有点的横坐标不变，
纵坐标变为原来的(1)/(2)得到的曲线方程为（x-4）²+（2x）²=1，
即C₂：（x-4）²+（2x）²=1，
再将C₂：（x-4）²+（2x）²=1向左平移4个单位得到的曲线方程为x²+（2x）²=4，
即曲线C₃的方程为(x2)/(4)+y2＝1．…（6分）
（Ⅱ）若C、D重合，则P（-2，0）或P（2，0），
若C、D不重合，设C（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则D（x₀，-y₀），
∴直线AC的方程为y＝(y0)/(x0+2)(x+2)，
直线BD的直线方程为y＝−(y0)/(x0−2)(x−2)，
∴y2＝−(y20)/((x0+2)(x0−2))(x+2)(x−2)，
即y2＝−(y20)/(x20−4)(x2−4)．（1）
∵C、D点在C₃：(x2)/(4)+y2＝1上，
∴(x20)/(4)+

y

2 0

＝1，
∴−(y20)/(x20−2)＝(1)/(4)，（2）
把（2）代入（1）化简得  (x2)/(4)−y2＝1．
综上所述，P点的轨迹方程为(x2)/(4)−y2＝1．…（12分）