有若干个大于0的自然数的平均数是10,如去掉一个最大数,余下平均数为9,如去掉一个最小数,余下平均数为11,这些数最多为几个,其中最大为是几

Question

有若干个大于0的自然数的平均数是10,如去掉一个最大数,余下平均数为9,如去掉一个最小数,余下平均数为11,这些数最多为几个,其中最大为是几

Answer 1

（1）设这些数的个数为k.依题意
10k-最大数=9×（k-1)=9k-9①
10k-最小数=11×（k-1）=11k-11②
①+②：20k-最大数-最小数=20k-20
所以,最大数+最小数=20③
由③可知最大数和最小数的配对情况有（1,19）（2,18）（3,17）（4,16）（5,15）（6,14）（7,13）(8,12)（9,11）（10,10）
又由①、②可得k=最大数-9,k=11-最小数
在上述的10种情形中,当最大数=19时（此时最小数为1）,它是所有最大数中最大的（其他情形为18~10）,由此求得个数k=19-9=11-1=10,它的个数也是最多的（其他情形个数k=9~1）.
所以,（1）这些数中最多有10个；（2）最大数最大可能是19.