设（1+12x）m=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm，若a0，a1，a2成等差数列．（1）求（1+12x）m展开式的中间项；（2）求（1+12x）m展开式中所有含x奇次幂的系数和．

Question

设（1+(1)/(2)x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_mx^m，若a₀，a₁，a₂成等差数列．
（1）求（1+(1)/(2)x）^m展开式的中间项；
（2）求（1+(1)/(2)x）^m展开式中所有含x奇次幂的系数和．

Answer 1

（1）依题意a₀=1，a1＝(m)/(2)，a2＝Cm2((1)/(2))2，由2a₁=a₀+a₂，求得m=1（舍去），或m=8．
所以(1+(1)/(2)x)m展开式的中间项是第五项为：T5＝

C

4 8

((1)/(2)x)4＝(35)/(8)x4．
（2）∵(1+(1)/(2)x)m＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm，
即(1+(1)/(2)x)8＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，
令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a8＝((3)/(2))8，
x=-1，则a0−a1+a2−a3+…+a8＝((1)/(2))8，
所以，a1+a3+a5+a7＝(38−1)/(29)＝(205)/(16)
所以展开式中含x的奇次幂的系数和为(205)/(16)．