早教吧作业答案频道 -->数学-->
一道关于连续函数的高数题,设函数f(x)在[0,2π]上连续,且f(0)=f(2π),证明在[0,π]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+π)
题目详情
一道关于连续函数的高数题,
设函数f(x)在[0,2π]上连续,且f(0)=f(2π),证明在[0,π]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+π)
设函数f(x)在[0,2π]上连续,且f(0)=f(2π),证明在[0,π]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+π)
▼优质解答
答案和解析
要证明存在ξ∈[0,π],使f(ξ)-f(ξ+π)=0
为此令F(x)=f(x)-f(x+π),x∈[0,π]
则由f(0)=f(2π)得
F(π)=f(π)-f(2π)=f(π)-f(0)=-F(0)
若F(0)=0,则存在ξ=0∈[0,π),使f(ξ)-f(ξ+π)=F(0)=0
若F(0)≠0,则F(0)*F(π)=-F^2(0)
为此令F(x)=f(x)-f(x+π),x∈[0,π]
则由f(0)=f(2π)得
F(π)=f(π)-f(2π)=f(π)-f(0)=-F(0)
若F(0)=0,则存在ξ=0∈[0,π),使f(ξ)-f(ξ+π)=F(0)=0
若F(0)≠0,则F(0)*F(π)=-F^2(0)
看了 一道关于连续函数的高数题,设...的网友还看了以下:
f(x)在0,正无穷)上连续,在(0,正无穷)上可导并满足f(0)=0,f(x)>=0,f(x)= 2020-05-14 …
设f''(x)在R上连续,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x(x不为0时),g(x)=f'(0 2020-05-14 …
设定义在R上的函数f(x)对任意x1、x2满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(x)在 2020-05-17 …
数学分析题》》关于连续的设f:D->实数,|f|:D->实数因为|f|(x)=|f(x)|举一个例 2020-06-03 …
一道同济出的《高等数学》书上的例题设f(x)在[0,正无穷)内连续且f(x)>0,证明函数F(x) 2020-06-10 …
设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续∵f为R上的单调函数, 2020-06-16 …
拓扑连续.一个R上的连续函数,如果它作用在闭区间X上,那么f(X)也是有界的,因此也是闭区间.但如 2020-06-23 …
设f(x)在x=Xo处连续,g(x)在x=Xo处不连续,f(x)+g(x)在x=Xo处连续,试证之 2020-07-10 …
证明:设f(x)在a,b上连续,若x.∈(a,b)有f(x.)>0,则存在点x.的...证明:设f 2020-07-13 …
实分析的一道证明题:(都在R中)若f,g连续求证1:S={x∈[0,1]|f(x)=g(x)}是紧 2020-07-25 …