一道关于连续函数的高数题,设函数f(x)在[0,2π]上连续,且f(0)=f(2π),证明在[0,π]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+π)

Question

一道关于连续函数的高数题,
设函数f(x)在[0,2π]上连续,且f(0)=f(2π),证明在[0,π]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+π)

Answer 1

要证明存在ξ∈[0,π],使f(ξ)-f(ξ+π)=0
为此令F(x)=f(x)-f(x+π),x∈[0,π]
则由f(0)=f(2π)得
F(π)=f(π)-f(2π)=f(π)-f(0)=-F(0)
若F(0)=0,则存在ξ=0∈[0,π),使f(ξ)-f(ξ+π)=F(0)=0
若F(0)≠0,则F(0)*F(π)=-F^2(0)