矩阵证明题,A为n阶可逆实矩阵,证明存在正交矩阵Q和正定矩阵S,使得A=QS.

Question

矩阵证明题,
A为n阶可逆实矩阵,证明存在正交矩阵Q和正定矩阵S,
使得 A=QS.

Answer 1

这是矩阵的级分解定理.
证明很简单,设s1,s2,……,sn是A的所有奇异值（即A'A的非零特征值的算术平方根）,则存在正交矩阵M,N,使得A=Mdiag(s1,s2,……,sn)N,——* 所以有A=Mdiag(s1,s2,……,sn)M'MN,记S=Mdiag(s1,s2,……,sn)M',Q=MN.显然S是可逆对称矩阵,故是正定矩阵——**,而方阵Q是正交的.
上面的证明结果中还可以进一步加强结论：S,Q唯一,如果A不是可逆的则不唯一.此外上述证明中的标志（——与——**）表示证明过程不够严密,那是因为有专门的定理给出那样的结果,只是这里省略了.
如果看不懂,数学专业《线性代数》教材,或者工科研究生教材《矩阵分析理论》