高中立体几何证明题正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、P、N分别为CD、BB1、A1D1中点,求证AC1垂直于面MPN.能证明出来吗？我感觉题不对，证不出来

Question

高中立体几何证明题
正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、P、N分别为CD、BB1、A1D1中点,求证AC1垂直于面MPN.
能证明出来吗？我感觉题不对，证不出来

Answer 1

取AC1的中点为O,连接MO、NO、PO；设正方体的棱长为a.则根据题意有
AO=√3a/2,AM=√5a/2=AP=AN,MO=√2a/2=PO=NO,
>>>AM^2=AO^2+MO^2,AP^2=AO^2+PO^2,AN^2=AO^2+NO^2
所以AC1分别和MO、PO和NO垂直；
所以AC1垂直平面MON、MOP和NOP
因此平面MON、MOP和NOP互相平行,因此这三个平面重合于平面MNP
所以AC1垂直于面MPN