在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程；(Ⅱ)过点B作斜率为-的直

Question

在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的 倍后得到点Q(x, y),且满足 · =1.
(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程；
(Ⅱ)过点B作斜率为- 的直线l交曲线C于M、N两点，且 + + = ，试求△MNH的面积.

Answer 1

（1）曲线C的方程是 + y ² =1  （2）S=

(I) 设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x, y）.然后求出 =(x+1, y), =(x-1, y). 再对 · =1坐标化化简即可。
（II）先求出直线l的方程，然后与曲线C的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程。
下面解题的关键是 + + = ，得 =（- x ₁ - x ₂ ，- y ₁ - y ₂ ），即H（-1，- ）
|MN|= 然后利用韦达定理求出|MN|，再利用点到直线的距离公式求出高，问题得解。
(Ⅰ)设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x, y）.   
依据题意，有 =(x+1, y), =(x-1, y).             ………………2分
∵ · =1，∴x ² -1+2 y ² =1.∴动点P所在曲线C的方程是 + y ² ="1" …………4分
(Ⅱ)因直线l过点B，且斜率为k=- ，故有l∶y=- （x-1）………………5分
联立方程组 ，消去y,得2x ² -2x-1=0.       …………………7分
设M（x ₁ ,y ₁ ）、N（x ₂ ,y ₂ ），可得 ，于是 . ……………8分
又 + + = ，得 =（- x ₁ - x ₂ ，- y ₁ - y ₂ ），即H（-1，- ）……10分
∴|MN|=   …………………………………12分
又l: x+2y- =0，则H到直线l的距离为d=
故所求MNH

作业帮用户 2017-11-14

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