已知椭圆的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足，。（1）设x为点P的横坐标

Question

已知椭圆 的左、右焦点分别是F ₁ （-c，0）、F ₂ （c，0），Q是椭圆外的动点，满足 ，点P是线段F ₁ Q与该椭圆的交点，点T在线段F ₂ Q上，并且满足 ， 。

（1）设x为点P的横坐标，证明 ；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F ₁ MF ₂ 的面积S=b ² 。若存在，求∠F ₁ MF ₂ 的正切值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

已知椭圆 的左、右焦点分别是F ₁ （-c，0）、F ₂ （c，0），Q是椭圆外的动点，满足 ，点P是线段F ₁ Q与该椭圆的交点，点T在线段F ₂ Q上，并且满足 ， 。

（1）设x为点P的横坐标，证明 ；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F ₁ MF ₂ 的面积S=b ² 。若存在，求∠F ₁ MF ₂ 的正切值；若不存在，请说明理由。

（1）设点P的坐标为
由P 在椭圆上，得
  =

由 ，知
所以 = 。
（2）设点T的坐标为
当 =0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上
当| |≠0且 时，由 得
又
所以T为线段F ₂ Q的中点
在△QF ₁ F ₂ 中，
所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是 。
（3）C上存在点M（x ₀ ，y ₀ ）使S=b ² 的充要条件是

由③得
由④得
所以当 时，存在点M，使S=
当 时，不存在满足条件的点M。
当 时，
由


得 。