已知等边三角形ABC的边长为a,P是三角形ABC所在平面上一点,用解析法求丨PA丨平方+丨PB丨平方+丨PC丨平方的最小值那么久了就没人知道吗？

Question

已知等边三角形ABC的边长为a,P是三角形ABC所在平面上一点,用解析法求丨PA丨平方+丨PB丨平方+丨PC丨平方的最小值
那么久了 就没人知道吗？

Answer 1

不要这样用解析法.不好做
设A(-a/2,0),B(a/2,0),C(0,sqr(3)a/2),并设P（x,y)
则丨PA丨^2+丨PB丨^2+丨PC丨^2
=[(x+a/2)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+y^2]+[x^2+(y-sqr(3)a/2)^2]
=3x^2+3y^2- sqr(3)ay+5a/4
=3[y-sqr(3)a/6]^2+3x^2+a^2
>=a^2(当且仅当x=0,y=sqr(3)a/6,即P为三角形中心时,即得最小值）