已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M

Question

已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x ² -x-2，其顶点坐标是（ (1)/(2) ，- (9)/(4) ）；

（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
点N的坐标为N（h，-t），
则

0=2k+b

-(9)/(4) =(1)/(2) k+b

，
解它们组成的方程组得：

k=(3)/(2)

b=-3

，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y= (3)/(2) x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t= (3)/(2) h-3，
∴h=2- (2)/(3) t，
其中 (1)/(2) ＜h＜2，
∴s= (1)/(2) ×1×2+(1)/(2) （2+t）（2- (2)/(3) t）=- (1)/(3) t ² + (1)/(3) t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=- (1)/(3) t ² + (1)/(3) t+3，
∵M点坐标是（ (1)/(2) ，- (9)/(4) ）；
∴QN最大值为： (9)/(4) ，
∴自变量的取值围是： 0＜t＜(9)/(4) ；

（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P ₁ （ (5)/(2) ， (7)/(4) ），P ₂ （ (3)/(2) ，-(5)/(4) ）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m ² -m-2，PA ² =（m+1） ² +n ²
PC ² =m ² +（n+2） ² ，AC ² =5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠ACP=90°则AP ² =PC ² +AC ² ．
可得：m ² +（n+2） ² +（m+1） ² +n ² =5，
解得： m 1 =(5)/(2) ，m ₂ =-1（舍去）．
所以点P（ (5)/(2) ， (7)/(4) ）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC ² =PA ² +AC ²
∴n=m ² -m-2
（m+1） ² +n ² =m ² +（n+2） ² +5
解得： m 3 =(3)/(2) ，m ₄ =0（舍去）．所以点P（ (3)/(2) ，- (5)/(4) ）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P ₁ （-1，-2），P ₂ （- (1)/(5) ，(2)/(5) ）或
（ (4)/(5) ，- (8)/(5) ）．