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如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D
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如图1,已知抛物线y=ax 2 +bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标; (3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应). |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=ax 2 +bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4) ∴将A与B两点坐标代入得: ,解得: 。 ∴抛物线的解析式是y=x 2 ﹣3x。 (2)设直线OB的解析式为y=k 1 x,由点B(4,4),得:4=4k 1 ,解得:k 1 =1。 ∴直线OB的解析式为y=x。 ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m。 ∵点D在抛物线y=x 2 ﹣3x上,∴可设D(x,x 2 ﹣3x)。 又∵点D在直线y=x﹣m上,∴x 2 ﹣3x=x﹣m,即x 2 ﹣4x+m=0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16﹣4m=0,解得:m=4。 此时x 1 =x 2 =2,y=x 2 ﹣3x=﹣2。 ∴D点的坐标为(2,﹣2)。 (3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3)。 根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO, 设直线A′B的解析式为y=k 2 x+3,过点(4,4),∴4k 2 +3=4,解得:k 2 = 。 ∴直线A′B的解析式是y= 。 ∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO,∴BA′和BN重合,即点N在直线A′B上。 ∴设点N(n, ), 又∵点N在抛物线y=x 2 ﹣3x上,∴ =n 2 ﹣3n,解得:n 1 = ,n 2 =4(不合题意,舍去)。 ∴N点的坐标为( )。 如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N 1 OB 1 , 则N 1 ( ),B 1 (4,﹣4)。 ∴O、D、B 1 都在直线y=﹣x上。 由勾股定理,得OD= ,OB 1 = , ∵△P 1 OD∽△NOB,△NOB≌△N 1 OB 1 , ∴△P 1 OD∽△N 1 OB 1 。 ∴ 。 ∴点P 1 的坐标为( )。 将△OP 1 D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P 2 ( )。 综上所述,点P的坐标是( )或( )。 |
(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 (2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m.由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标。 (3)综合利用几何变换和相似关系求进行翻折变换,将△NOB沿x轴翻折,注意求出P点坐标之后,该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换,将△NOB绕原点顺时针旋转90°求解。 |
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