若函数f（x）=x+2x，x≤0ax-lnx，x>0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．

Question

若函数f（x）=

x+2x，x≤0

ax-lnx，x>0

，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为___．

Answer 1

当x≤0时，f（x）=x+2^x，单调递增，
f（-1）=-1+2^-1<0，f（0）=1>0，
由零点存在定理，可得f（x）在（-1，0）有且只有一个零点；
则由题意可得x>0时，f（x）=ax-lnx有且只有一个零点，
即有a=(lnx)/(x)有且只有一个实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当x>e时，g′（x）<0，g（x）递减；
当0<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为(1)/(e)，
如图g（x）的图象，当直线y=a（a>0）与g（x）的图象
只有一个交点时，则a=(1)/(e)．
故答案为：(1)/(e)．