设f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域．（2）求f（x）在区间[0，32]上的值域．

Question

设f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，(3)/(2)]上的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x），
∴f（1）=log_a2+log_a2=log_a4=2，∴a=2；
又∵

1+x＞0

3−x＞0

，∴x∈（-1，3），
∴f（x）的定义域为（-1，3）．
（2）∵f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂[（1+x）（3-x）]=log₂[-（x-1）²+4]，
∴当x∈（-1，1]时，f（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，
∴f（x）在[0，(3)/(2)]上的最大值是f（1）=log₂4=2；
又∵f（0）=log₂3，f（(3)/(2)）=log₂(15)/(4)=-2+log₂15，
∴f（0）＜f（(3)/(2)）；
∴f（x）在[0，(3)/(2)]上的最小值是f（0）=log₂3；
∴f（x）在区间[0，(3)/(2)]上的值域是[log₂3，2]．