已知函数f（x）=lnx+axx+1（a∈R）（1）若函数f（x）在区间（0，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．

Question

已知函数f（x）=lnx+(ax)/(x+1)（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间（0，4）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=lnx+(ax)/(x+1)（a∈R），
∴f′(x)=(1)/(x)+(a(x+1)-ax)/((x+1)2)=((x+1)2+ax)/(x(x+1)2)，
∵函数f（x）在区间（0，4）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，4）上恒成立，
∴（x+1）²+ax≥0，即a>-(x2+2x+1)/(x)=-（x+(1)/(x)）-2在（0，4）上恒成立，
∵x+(1)/(x)≥2，（当且仅当x=1时取等号），∴-（x+(1)/(x)）-2≤-4，
∴a≥-4，即a的取值范围是[-4，+∞）．
（2）设切点为（x₀，y₀），则y₀=2x₀，f′(x0)=2，y0=lnx0+(ax0)/(x0+1)，
∴(1)/(x0)+(a)/((x0+1)2)=2，①，且2x0=lnx0+(ax0)/(x0+1)，②
由①，得a=（x₀+1）²（2-(1)/(x0)），代入②，得lnx₀+2x₀²-x₀-1=0，
令F（x）=lnx+2x²-x-1，则F′（x）>0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增，
又F（1）=0，∴x₀=1，∴a=4．