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设函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).(1)证明:函数f(x)在(0,1)是增函数;(2)求证:0≤an+1<an<1;(3)若,求证:(n≥2,n∈N*).
题目详情
设函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).
(1)证明:函数f(x)在(0,1)是增函数;
(2)求证:0≤an+1<an<1;
(3)若,求证:(n≥2,n∈N*).
(1)证明:函数f(x)在(0,1)是增函数;
(2)求证:0≤an+1<an<1;
(3)若,求证:(n≥2,n∈N*).
▼优质解答
答案和解析
(1)由于x∈(0,1)时,f'(x)=1-cosx>0恒成立,可得函数f(x)在(0,1)是增函数.
(2)用数学归纳法证明0≤an+1<an<1成立.
(3)先用导数判断函数的单调性,并利用单调性证明 ,再证明a1= 时,an≤,由此即可证得
结论.
证明:(1)∵x∈(0,1)时,∴f'(x)=1-cosx>0恒成立,
∴函数f(x)在(0,1)是增函数.…(3分)
(2)∵a2=f(a1)=a1-sina1,∴a2-a1=-sina1 .
∵0<a1<1,∴∴six<x 恒成立.…(5分)
1当n=1时,0<a1<a2<12 命题成立.
3假设当n=k时命题成立,即0≤ak+1<ak<14,
∵0=f(0)<f(x)<f(1)=1-sin1<1恒成立,…(8分)
∴f(0)<f(ak+1)<f(ak)<f(1),即 0≤ak+2<ak+1<1-sin1<1,
故当 n=k+1时,命题成立.
根据①②可知对于任意n∈N*命题0≤an+1<an<1均成立;
(3)证明:先证明 ,即证 an+1-=an-sinan-<0,an∈(0,1).
令∅(x)=x sinx-,x∈(0,1),则∅′(x)=-x+1-cosx.
再令g(x)=∅′(x),则g′(x)=-1+sinx≤0,故g(x)=∅′(x)在(0,1)上是减函数,
故∅′(x)<∅′(0)=0,故∅(x)在(0,1)上是减函数,故∅(x)<∅(0)=0 恒成立.
再由an∈(0,1),∅(an)<0,即 an-sinan-<0,故有 .
再证明a1= 时,an≤.
由 可得 <. 再由an<an-1<an-2<…<a2<a1,
当n≥2时,an=a1••…<a1••…<a1••…
==<=,
即 an<. …(14分)
(2)用数学归纳法证明0≤an+1<an<1成立.
(3)先用导数判断函数的单调性,并利用单调性证明 ,再证明a1= 时,an≤,由此即可证得
结论.
证明:(1)∵x∈(0,1)时,∴f'(x)=1-cosx>0恒成立,
∴函数f(x)在(0,1)是增函数.…(3分)
(2)∵a2=f(a1)=a1-sina1,∴a2-a1=-sina1 .
∵0<a1<1,∴∴six<x 恒成立.…(5分)
1当n=1时,0<a1<a2<12 命题成立.
3假设当n=k时命题成立,即0≤ak+1<ak<14,
∵0=f(0)<f(x)<f(1)=1-sin1<1恒成立,…(8分)
∴f(0)<f(ak+1)<f(ak)<f(1),即 0≤ak+2<ak+1<1-sin1<1,
故当 n=k+1时,命题成立.
根据①②可知对于任意n∈N*命题0≤an+1<an<1均成立;
(3)证明:先证明 ,即证 an+1-=an-sinan-<0,an∈(0,1).
令∅(x)=x sinx-,x∈(0,1),则∅′(x)=-x+1-cosx.
再令g(x)=∅′(x),则g′(x)=-1+sinx≤0,故g(x)=∅′(x)在(0,1)上是减函数,
故∅′(x)<∅′(0)=0,故∅(x)在(0,1)上是减函数,故∅(x)<∅(0)=0 恒成立.
再由an∈(0,1),∅(an)<0,即 an-sinan-<0,故有 .
再证明a1= 时,an≤.
由 可得 <. 再由an<an-1<an-2<…<a2<a1,
当n≥2时,an=a1••…<a1••…<a1••…
==<=,
即 an<. …(14分)
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