已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数g(x)＝|ex−a|+a22．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为32，则a=5252．

Question

已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数g(x)＝|ex−a|+(a2)/(2)．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为(3)/(2)，则a=

(5)/(2)

(5)/(2)

．

Answer 1

∵f（x）=-xlnx+ax，∴f'（x）=-lnx+a-1
∵函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数
∴f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立
∵y=-lnx是（0，e）上的减函数
∴f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即-1+a-1≥0
∴a≥2
g(x)＝|ex−a|+(a2)/(2)＝

ex−a+(a2)/(2)，ex≥a

−ex+a+(a2)/(2)，ex＜a

∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]
∴e^x=a时，函数取得最小值为(a2)/(2)
∵x=0时，−ex+a+(a2)/(2)＝−1+a+(a2)/(2)；x=ln3时，ex−a+(a2)/(2)＝3−a+(a2)/(2)
∴a＜2时，函数g（x）的最大值M=3−a+(a2)/(2)；a≥2时，函数g（x）的最大值M=−1+a+(a2)/(2)
∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为(3)/(2)
∴a＜2时，3−a+(a2)/(2)− (a2)/(2)＝(3)/(2)；a≥2时，−1+a+(a2)/(2)−(a2)/(2)＝

作业帮用户 2017-10-29

问题解析

根据函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，可得f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立，从而f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，进而可得参数的范围；利用函数g(x)＝|ex−a|+

(a2)/(2)．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为(3)/(2)，可求参数的值，从而可得结论．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数g（x）的最大值M与最小值m是关键．

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