已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断g(x)＝f(x)+1f(x)在（0，3）上是增函数还是减函数，并加以证明．

Question

已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，而且f（x）＞0，f（3）=1．判断g(x)＝f(x)+(1)/(f(x))在（0，3）上是增函数还是减函数，并加以证明．

Answer 1

函数g（x）在（0，3）上是减函数．
证明如下：任取0＜x₁＜x₂≤3，
则g(x1)−g(x2)＝[f(x1)+(1)/(f(x1))]−[f(x2)+(1)/(f(x2))]＝[f(x1)−f(x2)][1−(1)/(f(x1)f(x2))]．
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x₁）-f（x₂）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）≤f（3）=1，
∴0＜f（x₁）•f（x₂）＜1，
(1)/(f(x1)f(x2))＞1，1−(1)/(f(x1)f(x2))＜0．
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）
由此可知，函数g(x)＝f(x)+(1)/(f(x))在（0，3）上是减函数．