设函数f（x）=2x-2+2alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间[12，2]上的最小值为0，求实数a的值．

Question

设函数f（x）=(2)/(x)-2+2alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[(1)/(2)，2]上的最小值为0，求实数a的值．

Answer 1

（1）f′（x）=-(2)/(x2)+(2a)/(x)=(2ax-2)/(x2)（x>0）．
a≤0时，f′（x）<0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
a>0时，f′（x）=(2a(x-(1)/(a)))/(x2)，则x∈(0，(1)/(a))时，函数f（x）单调递减；
x∈((1)/(a)，+∞)时，函数f（x）单调递增．
（2）由（1）可得：
①a≤0时，函数f（x）在[(1)/(2)，2]上单调递减，则f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=(1)/(2ln2)，舍去．
②a>0时，
（i）(1)/(a)≥2，即0<a≤(1)/(2)时，f（x）在[(1)/(2)，2]上单调递减，则f（2）=1-2+2aln2=0，解得a=(1)/(2ln2)>(1)/(2)，舍去．
（ii）0<(1)/(a)≤(1)/(2)，即a≥2时，f（x）在[(1)/(2)，2]上单调递增，则f（(1)/(2)）=4-2+2aln(1)/(2)=0，解得a=(1)/(ln2)<2，舍去．
（iii）(1)/(2)<(1)/(a)<2，即(1)/(2)<a<2时，f（x）在[(1)/(2)，(1)/(a)）上单调递减，在((1)/(a)，2]上单调递增．
则f（(1)/(a)）=2a-2+2aln(1)/(a)=0，化为：2a-2=2alna，
令g（x）=2x-2-2xlnx（x>0），g（1）=0，
g′（x）=2-2lnx-2=-2lnx，可得x>1时，函数g（x）单调递减，1>x>0时，函数g（x）单调递增．
∴x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值．
∴g（x）≤g（1）=0，因此2a-2=2alna有唯一解a=1．满足条件．
综上可得：a=1．