已知函数f（x）=-13x3+a2x2-2x，g（x）=13x3-a2x2+（a+2）x+a+1x-lnx，（a∈R）（Ⅰ）当a=3时，x∈[32，2]，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）当a≥-1时，讨论函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性；（Ⅲ）若过

Question

已知函数f（x）=-(1)/(3)x³+(a)/(2)x²-2x，g（x）=(1)/(3)x³-(a)/(2)x²+（a+2）x+(a+1)/(x)-lnx，（a∈R）
（Ⅰ）当a=3时，x∈[(3)/(2)，2]，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≥-1时，讨论函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性；
（Ⅲ）若过点（0，-(1)/(3)）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=3时，f′（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
∴x∈[(3)/(2)，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数f（x）的最大值为f（2）=-(2)/(3)；
（Ⅱ）F（x）=f（x）+g（x）=ax+(a+1)/(x)-lnx，F′（x）=(ax2-x-(a+1))/(x2)．
a=0，F′（x）=-(x+1)/(x2)，∵x＞0，∴F′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
a＞0，F′（x）=((x+1)(ax-a-1))/(x2)＞0，x＞(a+1)/(a)，∴函数在（0，(a+1)/(a)）上单调递减；在（(a+1)/(a)，+∞）上单调
递增；
-1≤a＜0，F′（x）=((x+1)(ax-a-1))/(x2)＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）设切点为P（t，-(1)/(3)t³+(a)/(2)t²-2t），则切线斜率为k=f′（t）=-t²+at-2，
∴切线方程为y+(1)/(3)t³-(a)/(2)t²+2t=（-t²+at-2）（x-t），
点（0，-(1)/(3)）代入，化简可得(2)/(3)t³-(a)/(2)t²+(1)/(3)=0．
∵过点（0，-(1)/(3)）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
∴(2)/(3)t³-(a)/(2)t²+(1)/(3)=0有三个不同的实数解．
令g（t）=(2)/(3)t³-(a)/(2)t²+(1)/(3)，则函数的极大值与极小值异号，
由g′（t）=2t²-at=0，可得t=0或t=(a)/(2)，
∴(1)/(3)（(2)/(3)•(a3)/(8)-(a)/(2)•(a2)/(4)+(1)/(3)）＜0，
∴a＞2．