设函数f(x)=(x-1)ex-1+a2x2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≥-e，讨论函数f（x）的零点的个数．

Question

设函数f(x)=(x-1)ex-1+(a)/(2)x2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a≥-e，讨论函数f（x）的零点的个数．

Answer 1

（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）=x（e^x-1+a），
（i）若a≥0，当x<0时，f′（x）<0；当 x>0时，f′（x）>0，
所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．                            
（ii）若a<0，令f′（x）=0，得x=0或x=1+ln（-a），
①a=-(1)/(e)时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在R上单调递增；
②当-(1)/(e)<a<0时，1+ln（-a）<0，当x<1+ln（-a）或x>0时，f′（x）>0，当1+ln（-a）<x<0时，f′（x）<0，
所以函数f（x）在（-∞，1+ln（-a）），（0，+∞）上单调递增，在（1+ln（-a），0）单调递减；
③当a<-(1)/(e)时，1+ln（-a）>0，当x>1+ln（-a）或x<0时，f′（x）>0，当0<x<1+ln（-a）时，f′（x）<0，
所以函数f（x）在（-∞，0），（1+ln（-a），+∞）上单调递增，在（0，1+ln（-a））单调递减；        
（2）当a=0时，函数f（x）只有一个零点x=1；                             
当a>0时，由（1）得函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，且f（0）=-(1)/(e)<0，f（1）=(a)/(2)>0，
取x₀<-3且x₀<1+lna，则f（x₀）>（x₀-1）a+(a)/(2)x02=(a)/(2)[(x0+1)2-3]>0，所以函数f（x）有两个零点；
当-(1)/(e)≤a<0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）=-(1)/(e)<0，f（2）=e+2a>0，
而x<0时，f（x）<0，所以函数f（x）只有一个零点．
当-e≤a<-(1)/(e)时，由（1）得函数f（x）在（0，1+ln（-a））单调递减，在（1+ln（-a），+∞）上单调递增，
且f（1+ln（-a））<f（0）=-(1)/(e)<0，f（3）=2e²+(9)/(2)a≥2e²-(9)/(2)e>0，
而x<0时，f（x）<0，所以函数f（x）只有一个零点．