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已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.(Ⅰ)求a,c的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
题目详情
已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,
所以,对任意的x∈R,都有g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以
解得a=0,c=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+3bx+2.
所以f'(x)=3x2+3b(b≠0).
当b<0时,由f'(x)=0得x=±
.x变化时,f'(x)的变化情况如下:
x∈(−∞,−
),时f′(x)>0
x∈(−
,
),时f′(x)<0
x∈(
,+∞),时f′(x)>0
所以,当b<0时,函数f(x)在(−∞,−
)上单调递增,
在(−
,
)上单调递减,在(
,+∞)上单调递增.
当b>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
所以,对任意的x∈R,都有g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以
|
解得a=0,c=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+3bx+2.
所以f'(x)=3x2+3b(b≠0).
当b<0时,由f'(x)=0得x=±
−b |
x∈(−∞,−
−b |
x∈(−
−b |
−b |
x∈(
−b |
所以,当b<0时,函数f(x)在(−∞,−
−b |
在(−
−b |
−b |
−b |
当b>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
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