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求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.
题目详情
求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.
▼优质解答
答案和解析
【方法一】
作拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4).
首先,求解其驻点.
令
,
求解方程组可得,(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(-2,-2,8).
因为 u(x1,y1,z1)=6,u(x2,y2,z2)=72,
故所求的最大值为72,最小值为6.
【方法二】注意到约束条件 x+y+z=4,即 z=4-(x+y),故可将原问题转化为:
求函数 u=x2+y2+x4+2x2y2+y4 在约束条件 x+y+x2+y2=4下的最值.
设 F(x,y,λ)=x2+y2+x4+2x2y2+y4 +λ(x+y+x2+y2-4),
令
,
解得,(x1,y1)=(1,1),(x2,y2)=(-2,-2),
代入 z=x2+y2,得 z1,=2,z2 =8.
因为 u(x1,y1,z1)=6,u(x2,y2,z2)=72,
故所求的最大值为72,最小值为6.
作拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4).
首先,求解其驻点.
令
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求解方程组可得,(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(-2,-2,8).
因为 u(x1,y1,z1)=6,u(x2,y2,z2)=72,
故所求的最大值为72,最小值为6.
【方法二】注意到约束条件 x+y+z=4,即 z=4-(x+y),故可将原问题转化为:
求函数 u=x2+y2+x4+2x2y2+y4 在约束条件 x+y+x2+y2=4下的最值.
设 F(x,y,λ)=x2+y2+x4+2x2y2+y4 +λ(x+y+x2+y2-4),
令
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解得,(x1,y1)=(1,1),(x2,y2)=(-2,-2),
代入 z=x2+y2,得 z1,=2,z2 =8.
因为 u(x1,y1,z1)=6,u(x2,y2,z2)=72,
故所求的最大值为72,最小值为6.
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