在数学归纳法求证：3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除的过程中,从n=k+1时,3^[4(k+1)+

Question

在数学归纳法求证：3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除的过程中,从n=k+1时,3^[4(k+1)+

Answer 1

当n=1时,3^(4n+2)+5^(2n+1)=3^(4+2)+5^(2+1)=3^6+5^3=729+125=854,854mod14
假设当n=k时,3^(4n+2)+5^(2n+1)能够被14整除,即3^(4k+2)+5^(2k+1)mod14
当n=k+1时,3^(4n+2)+5^(2n+1)=3^(4k+4+2)+5^(2k+2+1)
=81*3^(4k+2)+25*5^(2k+1)
=25*(3^(4k+2)+5^(2k+1))+56*3^(4k+2)
=25*(3^(4k+2)+5^(2k+1))+14*4*3^(4k+2)么,分出前后两项考虑.
因为3^(4k+2)+5^(2k+1)mod14且14mod14么,所以加和的两项都能够被14整除,
所以3^(4k+4+2)+5^(2k+2+1)mod14