已知z为虚数，且．(1)求|z|；(2)设u=(3-i)z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；(3)若为实数，且z恰好为实系数方程的两根，试写出此方程．

Question

已知z为虚数，且．
(1)求|z|；(2)设u=(3-i)z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；
(3)若为实数，且z恰好为实系数方程的两根，试写出此方程．____

Answer 1

【分析】(1)设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，由题意可得|2m+15+2ni|=|m+10+ni|，化简可得m²+n²=75，从而得到|z|的值．
(2)由题意可得u=(3m+n)+(3n-m)i，3m+n+3n-m=0，故，
解得m 和n的值，即得复数z．
(3)由 z² +2 =m²-n²+2m+2n(m-1)i 为实数，得2n(m-1)=0，m=1．再由m²+n²=75，求出
n的值，可得z的值，由根与系数的关系求得p和q的值，即可写出方程．

(1)设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，
则有|2m+15+2ni|=|m+10+ni|，
∴(2m+15)²+4n²=3(m+10)²+3n²，化简可得 m²+n²=75．
∴|z|==5．
(2)∵u=(3-i)z，
∴u=(3m+n)+(3n-m)i.
若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，
∴3m+n+3n-m=0，
∴．
解得或．
∴z=2-i，z=-2+i．
(3)∵z² +2 =m²-n²+2m+2n(m-1)i 为实数，
∴2n(m-1)=0，由n≠0可得 m=1．
又m²+n²=75，∴n=±．
∴z=1+i，或 z=1-i．
由z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，
利用根与系数的关系可得-p=1+i+1-i=2，q=(1+i )(1-i)=75，
故要求的方程为x²-2x+75=0．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，复数的代数表示法及其几何意义，求出m 和n的值，是解题的关键．