已知复数z1=1+3i,|z2/1+2i|=根号2,z1*z2为纯虚数,求复数z2.|z2/(1+2i)|=根号2

Question

已知复数z1=1+3i,| z2/1+2i |=根号2,z1*z2为纯虚数,求复数z2.
| z2/(1+2i) |=根号2

Answer 1

设Z2＝a＋bi,其中a、b都是实数.则：
Z1×Z2＝（a＋bi）（1＋3i）＝（a－3b）＋（b＋3a）i.而Z1×Z2为钝虚数,∴a＝3b.
又｜（a＋bi）/（1＋2i）｜＝√2,∴｜（a＋bi）（1－2i）/（1＋4）｜＝√2,
∴｜（a＋2b）＋（b－2a）i｜＝5√2,∴√［（a＋2b）^2＋（b－2a）^2］＝5√2.
将a＝3b代入上式,得：√［3b＋2b）^2＋（b－6b）^2］＝5√2,
∴√（25b^2＋25b^2）＝5√2,得：b＝±5,进而得：a＝±15.
∴复数Z2有两个,分别为：15＋5i,　15－5i.