如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．

Question

如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．

（1）若AD=1，求DC；
（2）求证：BD=2CE．

Answer 1

（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴DH=CH，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=AD=1，
∴CD=√(2)；
（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中

∠EBF=∠ACF

AB=AC

∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBF

BE=BE

∠CEB=∠FEB

，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴BD=2CE．