直角三角形的内接矩形,怎么样更大?边在斜边还是直角边?

Question

直角三角形的内接矩形,怎么样更大?边在斜边还是直角边?

Answer 1

令直角三角形两直角边分别为a,b
（一）
当矩形边在直角边上时,设其在直角边a上的边长为x,直角边b上的边长为y：
根据相似三角形对应边成比例可得出：
x/a=(b-y)/b
ab-ay=bx
y=b(a-x)/a
面积f(x)=xy=b/a(ax-x^2)=b/a{a^2/4-(x-a/2)^2} ≤ ab/4,最大面积ab/4
（二）
当矩形边在斜边上时,设其在斜边上的边长为x,与斜边垂直的边长为y：
∵直角三角形两直角边分别为a,b
∴斜边=根号(a^2+b^2)
根据相似三角形对应边成比例可得出：
x/根号(a^2+b^2) = {a-y根号(a^2+b^2) /b} /a
y=ab{根号(a^2+b^2) - x}/(a^2+b^2)
面积f(x) = xy = ab/(a^2+b^2) * {x根号(a^2+b^2) - x^2}
= ab/(a^2+b^2) * { (a^2+b^2)/4-[x-1/2 根号(a^2+b^2)]^2 } ≤ab/4
当三角形形状一定时,无论矩形的边在直角边,还是斜边,其最大面积都是一定的,都等于ab/4