（2014•三门县一模）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．（1）根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的

Question

（2014•三门县一模）阅读理解：
两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．
（1）根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”．
①三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形______
②两个等腰三角形是共角三角形______
【探究】
（2）如图1，在△ABC与△DEF中，设∠ABC=α，∠DEF=β
①当α=β=90°  时，显然可知：(S△ABC)/(S△DEF)＝(AB•BC)/(DE•EF)
②当α=β≠90° 时，亦可容易证明：(S△ABC)/(S△DEF)＝(AB•BC)/(DE•EF)
③如图2，当α+β=180°（α≠β）时，上述的结论是否还能成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．
【归纳】
（3）针对上述探究，请你写出一个关于共角三角形的结论：______．
【应用】
（4）如图3，⊙O中的弦AB、CD所对的圆心角分别是72°、108°，记△OAB与△OCD的面积分别为S₁，S₂，请写出S₁与S₂满足的数量关系______．
（5）如图4，▱ABCD的面积为2，延长▱ABCD的各边，使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，则四边形EFGH的面积为______．

Answer 1

（1）①对  ②错；
（2）③证明：方法一：
过A作AM⊥BC交BC的延长线于点M、过D作DN⊥EF于点N，
∴∠AMB=∠DNE=90°
又∵∠ABM+α=β+α=180°
∴∠ABM=β
即：∠ABM=∠E
∴△ABM∽△DEN
∴(AM)/(DN)＝(AB)/(DE)，
∴(S△ABC)/(S△DEF)＝((1)/(2)AM•BC)/((1)/(2)DN•EF)＝(AM)/(DN)•(BC)/(EF)＝(AB)/(DE)•(BC)/(EF)＝(AB•BC)/(DE•EF)；
（3）共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比；   
（4）∵△OAB与△OCD是共角三角形，
∴(S△OAB)/(S△OCD)=(S1)/(S2)＝(OA•OB)/(OC•OD)＝1，
S₁=S₂；
（5）如图：

四边形ABCD的面积为2，
SABC＝SADC＝SBAD＝SBCD＝1，
使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，
由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得
(S△BEF)/(S△ABC)＝(BE•BF)/(AB•BC)＝(AB•3BC)/(AB•BC)＝3，S_△BEF=3，
(S△GCF)/(S△BCD)＝(CG•CF)/(CB•CD)＝(3CD•2BC)/(CD•BC)＝6，S_△GCF=6，
(S△HDG)/(S△ADC)＝(DG•DH)/(DA•DC)＝(2CD•4AD)/(DC•DA)=8，S_△DGH=8，
(S△AHE)/(S△ADB)＝(AH•AE)/(AD•AB)＝

3A

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）根据共角三角形的定义，可得答案；
（2）根据同角的补角相等，可得：∠ABM=∠E，根据相似三角形的判定，可得△ABM∽△DEN，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，可得证明的结论；
（3）根据（2）证明的结论，可得答案；
（4）根据共角三角形面积的关系，可得答案；
（5）根据共角三角形面积的关系，可得共角三角形的面积，根据面积的和差，可得答案．．

名师点评

本题考点：

圆的综合题．

考点点评：

本题考查了圆的综合题，共角三角形的面积之间的关系是解题关键．

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