在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a-b=bcosC．（1）求证：sinC=tanB；（2）若a=1，b=2，求c．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a-b=bcosC．
（1）求证：sinC=tanB；
（2）若a=1，b=2，求c．

Answer 1

（1）由正弦定理可知：(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由a-b=bcosC，则sinA-sinB=sinBcosC，
由A=π-（B+C），则sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
即sin（B+C）=sinB+sinBcosC，sinBcosC+cosBsinC=sinB+sinBcosC，
sinCcosB=sinB，tanB=(sinB)/(cosB)，
∴sinC=tanB．
（Ⅱ）由a-b=bcosC，且a=1，b=2，得cosC=-(1)/(2)，
由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×(-(1)/(2))=7，
∴c=√(7)，
c的值为√(7)．