如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD

Question

如图，抛物线y=-(1)/(2)x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-(1)/(2)x²+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：

m=(3)/(2)

n=2

，
∴抛物线的解析式为：y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2；

（2）∵y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2，
∴y=-(1)/(2)（x-(3)/(2)）²+(25)/(8)，
∴抛物线的对称轴是直线x=(3)/(2)．
∴OD=(3)/(2)．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=(5)/(2)．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃．
作CH⊥x轴于H，
∴HP₁=HD=2，
∴DP₁=4．
∴P₁（(3)/(2)，4），P₂（(3)/(2)，(5)/(2)），P₃（(3)/(2)，-(5)/(2)）．