C1，C2是以原点为圆心的两个同心圆，C1的半径r1=2，C2的半径r2=6，C1上有一点P，C2上有一点Q，各以每秒1弧度的角速度绕原点旋转，P点按逆时针方向运动，Q点安顺时针方向运动，当t=0时，P点

Question

C₁，C₂是以原点为圆心的两个同心圆，C₁的半径r₁=2，C₂的半径r₂=6，C₁上有一点P，C₂上有一点Q，各以每秒1弧度的角速度绕原点旋转，P点按逆时针方向运动，Q点安顺时针方向运动，当t=0时，P点在x轴上，Q点在y轴上，求PQ中点M的运动轨迹的参数方程．

Answer 1

两个点在相同速度相同时间内走过的角度为ωt，
且OP与x轴正半轴的夹角与OQ与x轴正半轴的角之和为(π)/(2)，
设∠POx=θ，则∠QOx=(π)/(2)-θ，
∴P（2cosθ，2sinθ），Q（6sinθ，6cosθ），
则PQ的中点为M，由中点坐标公式得

xM=cosθ+3sinθ

yM=sinθ+3cosθ

，
∴M（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），
由辅助角公式，得：
xM=cosθ+3sinθ=√(10)cos(θ-α)，(cosα=(√(10))/(10))．
yM=sinθ+3cosθ=√(10)sin(θ+α)，
又θ=ωt=t，
∴PQ中点M的运动轨迹的参数方程为

x=√(10)cos(t-α)

y=√(10)sin(t-α)

．（t为参数），(cosα=(√(10))/(10))．