如图，两同心圆的半径分别为6、10，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦．当矩形面积取最大值时，其周长为．

Question

如图，两同心圆的半径分别为6、10，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦．当矩形面积取最大值时，其周长为___．

Answer 1

连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，
过D作DE⊥OA于E，
∵矩形APND的面积是AD×OM，△AOD的面积=(1)/(2)AD×OM，矩形BCNP的面积是OM×BC，
∴矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍，
在Rt△DEO中，DE=OD×sin∠DOE=OD×sin∠AOD，
∵OA，OD的长是定值，S_△AOD=(1)/(2)×OA×OD×sin∠AOD，
∴要使矩形ABCD的面积最大，必须△AOD的面积最大，
即当∠AOD的正弦值最大时，三角形AOD的面积最大，
∵当∠AOD≤90°时，正弦值随角度的增大而增大，
即当∠AOD=90°，S_△AOD最大，
则勾股定理得：AD=√(62+102)=2√(34)，
根据三角形的面积公式求得OM=(15√(34))/(17)，即AB=(30√(34))/(17)．则矩形ABCD的周长是2（2√(34)+(30√(34))/(17)）=(128√(34))/(17)，
故答案为：(128√(34))/(17)．