扇形的中心角为2π/3,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为＿＿＿＿.

Question

扇形的中心角为2π/3 ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为＿＿＿＿.

Answer 1

作扇形AOB,O为扇形中心,
设OA=OB=R,作内切圆Q,
则圆Q分别与OA、OB、弧AB相切,
切点分别是D、E、F,设圆Q半径=r,
易证△QDO≌△QEO,
∴∠QOD=∠QOE=60°,
设DO=x,则由三角函数或勾股定理得：
x=r／√3,∴OQ=2r／√3,
∴由OQ＋QF=R=2r／√3＋r=R,
∴R=﹙2／√3＋1﹚r,
∴扇形面积S=[﹙2π／3﹚／﹙2π﹚]×πR²=πR²／3,
内切圆面积S1=πr²,
∴S∶S1=﹙1／3﹚×﹙R／r﹚²
=﹙1／3﹚×﹙2／√3＋1﹚²
=﹙7＋4√3﹚／9
∴它们面积的比=﹙7＋4√3﹚／9