在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°①求证：△BDE是等边三角形；②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你

Question

在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
①求证：△BDE是等边三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；
③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

①证明：如图，在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=(1)/(2)（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．
③由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，
可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4√(3)
因此S_{四边形ABDC}=2×（4×4√(3)×(1)/(2)）=16√(3)．